Cardinal

Définition intuitive

Le cardinal d’un ensemble $E$ mesure « combien » il contient d’éléments. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.
La bonne façon de penser cette notion n’est pas le comptage, qui suppose déjà les entiers, mais la mise en correspondance biunivoque : deux ensembles ont même cardinal lorsqu’on peut associer à chaque élément de l’un exactement un élément de l’autre, sans reste de part et d’autre.
Un berger qui associe à chaque brebis un caillou sait ainsi comparer deux troupeaux sans savoir compter. Cette définition par bijection a l’avantage décisif de garder un sens pour les ensembles infinis, où elle réserve des surprises : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ont même cardinal bien que le premier soit une partie stricte du second, tandis que $\mathbb{R}$ en a un strictement plus grand.

Définition formelle

Le cardinal d’un ensemble $E$ est le plus petit entier $n$ tel qu’il existe une injection de $E$ dans $[\![1,n]\!]$. Si elle n’existe pas, on définit $\vert E\vert:=+\infty$.

Exemples

$\bullet$ L’ensemble $\{1,8,36\}$ a $3$ éléments, ainsi $\vert \{1,8,36\}\vert=3$.
$\bullet$ L’ensemble $\{(1,2), \text{Anna}, \pi^2, \{1\}\}$ a $4$ éléments, ainsi son cardinal vaut $4$.
$\bullet$ Il existe une infinité d’entiers, donc $\vert \Z\vert=+\infty$.