Dérivée d’une fonction vectorielle

Définition intuitive

La notion de dérivée d’une fonction vectorielle est une extension de celle de fonction $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$

Définition formelle

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et soit $p\in\mathbb N^*$.
Soit $f:I\to\mathbb R^p$ une fonction vectorielle.
On dit que $f:I\to\mathbb R^p$ est dérivable en $a\in I$ lorsque la limite
$$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$existe dans $\mathbb R^p$. Dans ce cas,
$$f'(a) = \bigl(f_1'(a),\dots,f_p'(a)\bigr).$$

Autrement dit, une fonction vectorielle est dérivable si et seulement si chacune de ses composantes est dérivable.

Vocabulaire

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ lorsque pour tout $a\in I$, $f$ est dérivable en $a$.