Forme différentielle

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Définition intuitive

Une forme différentielle associe à chaque point d’une variété une manière de mesurer des petits objets orientés de dimension $k$ dans l’espace tangent.
Par exemple, une $1$ -forme mesure des petits segments orientés, tandis qu’une $2$ -forme mesure des petits parallélogrammes orientés.

Définition formelle

Une forme différentielle $\omega$ de degré $k$ sur une variété lisse $M$ est une section de la $k$ -ième puissance extérieure du fibré cotangent de $M$ :
$\omega\in \Gamma(\Lambda^{k}(T^{*}M)).$

Practice this concept with exercises

On considère la forme différentielle sur $\R^{2}$ :
$\omega = xdx+ydy.$
1. Exprimer $\omega_{(x,y)}(u,v)$ pour tout $(u,v)$ de $\R^{2}$ .
2. Calculer $\omega_{(1,2)}(3,4)$ .
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