Groupe dérivé

Intuition

Le groupe dérivé d’un groupe $G$ mesure en quelque sorte à quel point $G$ n’est pas abélien.

Pour le construire, on regarde tous les commutateurs $xyx^{-1}y^{-1}$. S’il y a beaucoup de commutateurs non triviaux, cela signifie que les éléments de $G$ ont tendance à ne pas commuter entre eux, et donc le groupe dérivé est très grand ; à l’inverse si tous les commutateurs sont triviaux, alors $G$ est abélien, et dans ce cas le groupe dérivé est trivial.

Définition formelle

Le groupe dérivé de $G$, noté $D(G)$ ou $[G,G]$, est le sous-groupe de $G$ engendré par les commutateurs
$$[x,y]=xyx^{-1}y^{-1},$$où $x,y\in G$.