Groupe fondamental

Intuition

Le groupe fondamental est une tentative de formaliser la notion de « trou ».
Par exemple, un tore possède un trou. Comment peut-on rendre cette observation mathématique ?

L’idée est de considérer des lacets et de les déformer. On peut les imaginer comme des élastiques : s’il est impossible de contracter un lacet en un seul point, c’est qu’il est retenu par un obstacle : autrement dit, un trou.

La déformation des lacets se fait mathématiquement avec l'homotopie.
Ainsi, le groupe fondamental cherche à déterminer quels lacets sont fondamentalement différents les uns des autres, à homotopie près. Ces différentes classes de lacets permettent alors de détecter certains trous.

Définition formelle

Le groupe fondamental d’un espace topologique $X$ en un point $x_{0}$ est le groupe des classes d’homotopie de lacets de $X$ basés en $x_{0}$, où l’opération de groupe est induite par la concaténation sur les lacets. Il est dénoté par
$$\pi_{1}(X,x_{0}).$$