Intégration par parties

Définition formelle :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Alors leur produit $u\cdot v$ est dérivable et on a :
$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.$$Si deux des trois fonctions $(u\cdot v)'$, $u'\cdot v$ et $u\cdot v'$ sont intégrables sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l’est également et on a l’égalité :
$$\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,$$qui peut également s’écrire :
$$u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.$$Cette méthode est appelée « intégration par parties ».

Remarques :

$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l’écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
$\bullet$ Ces formules marchent sur n’importe quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infinis.
$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.