Mesure complète

Définition

On dit que la mesure $\mu$ est complète lorsque tout ensemble négligeable est mesurable.
Autrement dit,
$$A\in\mathcal A \ \text{et}\ \mu(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathcal P(A)\subset\mathcal A.$$

Remarque

• La tribu complétée $\overline{\mathcal A}$ est la plus petite tribu contenant $\mathcal A$ pour laquelle la mesure $\mu$ devient complète.
• Toute mesure peut être complétée.
  En effet, on peut compléter la mesure $\mu$ en définissant la mesure $\overline{\mu}$ par
  $$\overline{\mu}(A\cup N) = \mu(A), \qquad A\in\mathcal A, \ N\in\mathcal N_\mu.$$Par construction, la mesure $\overline{\mu}$ est complète.
• L’espace mesuré $(X,\overline{\mathcal A},\overline{\mu})$ est appelé le complété de $(X,\mathcal A,\mu)$.