Ensemble négligeable

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Définition

Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré.
On dit qu’un ensemble $N\subset X$ est dit négligeable s’il existe un ensemble mesurable $A\in\mathcal A$ tel que
$N\subset A \qquad\text{et}\qquad \mu(A)=0.$

Remarques

On note $\mathcal N_{\mu}$ l’ensemble des négligeables relativement à l’espace mesurée $(X,\mathcal A,\mu)$ .
Attention, $\mu (N)$ n’est pas définie car, a priori, $N$ n’est pas forcément mesurable !
Pour pouvoir parler de la mesure d’un négligeable, on introduit alors la notion de tribu complétée ainsi que de mesure complète.

Practice this concept with exercises

Soit $\Omega$ un ensemble non vide. On fixe $a \in \mathcal \Omega$ .
1. On munit $\Omega$ de la tribu $\mathcal A = \mathcal P(\Omega)$ et de la mesure de Dirac $\delta_{a}$ . Quels sont les négligeables de $(\Omega,\mathcal A, \delta_{a})$ ?
2. Même question mais pour la mesure de comptage.
3. On suppose maintenant que $\Omega$ contient au moins $3$ éléments et on munit $\Omega$ de la tribu :
  $\mathcal T = \{\empty,\{a\},\Omega/\{a\},\Omega\}.$ Donnez un exemple de négligeable de $(\Omega,\mathcal T,\delta_{a})$ qui n’est pas mesurable.
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