Ordre d’un élément d’un groupe

Intuition:

Un élément d’un groupe représente une symétrie d’un système physique (invariance par rotation, translation, quart de tour d’un Rubik’s Cube, retournement d’une crêpe). L’ordre d’un élément représenta ainsi le nombre de fois minimal qu’il faut l’appliquer afin de revenir à la position initiale (retourner deux fois une crêpe la fait revenir à sa position initiale par exemple).

Définition

L’ordre d’un élément $x$ d’un groupe $(G,\cdot)$ est le plus petit entier strictement positif $k$ tel que $x^k=e$ où $e$ est l’élément neutre de $G$. Par exemple, l’ordre de $e$ est $1$.

Si cet entier n’existe pas (dans le cas de groupes infinis), on dit que l’ordre est infini.

Exemples:
$\bullet$ L’ordre de $-1$ dans $(\R^*,\cdot)$ est $2$ car $(-1)^1=-1$ et $(-1)^2=1$.
$\bullet$ L’ordre de $-1$ dans $(\Z,+)$ est infini car $(-1)+(-1)+(-1)+\dots+(-1)$ ne fait jamais $0$.
$\bullet$ L’ordre de $i$ dans $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ est $4$ car $i^1,i^2,i^3\neq1$ alors que $i^4=1$.
$\bullet$ L’ordre de la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans $(GL_2(\R),\cdot)$ est $2$ tandis que celui de $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est $4$.