Partie entière

La partie entière d’un nombre réel $x\in\R$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, on le note souvent $\lfloor x\rfloor$ ou parfois $E(x)$.

Plus forcément, $\lfloor x\rfloor$ est l’entier $\max\{k\in\Z/ k\leqslant x\}$, ou encore l’unique entier $k$ tel que $k\leqslant x< k+1$.

Exemples et Remarque:
$\bullet$ Voici quelques exemples de calcul de parties entières:
$\lfloor 2.1\rfloor=2,$
$\lfloor \pi\rfloor=3,$
$\lfloor 4\rfloor=4,$
$\lfloor -1.4\rfloor=-2$.
$\bullet$ On notera en particulier que la partie entière n’est PAS définie comme le fait de retirer toutes les décimales d’un nombre (on couperait le "$.1$" à $2.1$ pour trouver $\lfloor 2.1\rfloor=2$). Ceci n’est vrai que pour les réels positifs, mais pas pour les négatifs.

Graphe de la fonction partie entière sur $[-4,4]$ , où $x$ est en abscisse et $\lfloor x\rfloor$ en ordonnée. On remarque la forme caractéristique en escalier de cette fonction.