Ivan Shishkin, Birch Grove

Sous-groupe distingué

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Définition

Soit (G,∗)(G,*) un groupe et HH un sous-groupe de GG.
On dit que HH est un sous-groupe distingué de GG lorsque
∀x∈G,x−1∗H∗x=H.\forall x \in G, \quad x^{-1}*H*x = H.

Remarque

  • En pratique, il suffit de montrer que
    ∀x∈G,x−1∗H∗x⊂H.\forall x \in G, \quad x^{-1}*H*x \subset H.

  • La définition suivante est équivalente :
    H est distingueˊ dans G  ⟺  ∀x∈G,x∗H=H∗x.H \text{ est distingué dans } G \iff \forall x\in G, \qquad x*H=H*x.

  • Si GG est un groupe abélien, alors tout ses sous-groupes sont distingués.

Practice this concept with exercises

  • Soit (G,∗)(G,*) un groupe et HH un sous-groupe de GG.

    Démontrez les 33 propriétés suivantes :

    1. H est distingueˊ dans G  ⟺  ∀x∈G,x−1Hx⊂H,H \text{ est distingué dans } G \iff \forall x \in G, \quad x^{-1}Hx \subset H,
    2. H est distingueˊ dans G  ⟺  ∀x∈G,x∗H=H∗x,H \text{ est distingué dans } G \iff \forall x\in G, \quad x*H=H*x,
    3. G est abeˊlien   ⟹   tout sous groupe H de G  est distingueˊ.G \text{ est abélien } \implies \text{ tout sous groupe } H \text{ de G } \text{ est distingué.}
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