Subset

On considère un ensemble $E$ de cardinal $n>0$ dont on note $x_1,\dots,x_n$ les éléments. On cherche à dénombrer combien de parties possède $E$.

1. Montrer que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble fini. Soit qu’il n’y a qu’un nombre fini de parties de $E$.
2. On considère la fonction $f$ qui à toute partie $A$ de $E$ associe le $n$-uplet $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{0,1\}^n$ tel que $a_i$ vaut $1$ si $x_i$ appartient à $A$ et $0$ sinon.
   Montrer que $f$ est injective, puis surjective.
3. En déduire que $\#\mathcal{P}(E)=2^n=2^{\#E}$.