Sous-ensemble

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Also known as: Partie

Un ensemble $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) d’un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$ . On note
$A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.$ Si de plus on est sûr que $A$ n’est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subsetneq E$ . On dit alors que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$ .

L’ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$ .

Exemples et Remarques:
$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'ensemble vide $\emptyset$ ainsi que $E$ .
$\bullet$ Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$ .
$\bullet$ Si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$ .

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On considère un ensemble $E$ de cardinal $n>0$ dont on note $x_1,\dots,x_n$ les éléments. On cherche à dénombrer combien de parties possède $E$ .
1. Montrer que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble fini. Soit qu’il n’y a qu’un nombre fini de parties de $E$ .
2. On considère la fonction $f$ qui à toute partie $A$ de $E$ associe le $n$ -uplet $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{0,1\}^n$ tel que $a_i$ vaut $1$ si $x_i$ appartient à $A$ et $0$ sinon.
  Montrer que $f$ est injective, puis surjective.
3. En déduire que $\#\mathcal{P}(E)=2^n=2^{\#E}$ .
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