Suite

Soit $X$ un ensemble. Une suite de $X$ est une fonction $u:\N \rightarrow X$.

Remarques

• L’élément $u(n)$ est écrit $u_{n}$ et s’appelle le $n$-ième terme de la suite, tandis que la suite elle-même est notée avec des parenthèses : $(u_{n})_{n\in \N}$ ou plus simplement $(u_{n})_n$.
• Parfois, les suites sont définies par récurrence.
  Par exemple, on peut choisir un premier terme $u_0$ ainsi qu’une fonction $f\colon X\to X$ et ainsi on peut définir la suite $(u_n)_{n\in\N}$ par ce premier terme et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$.

Exemples

$\bullet$ La fonction $n\in\N\longmapsto 2n$ est une suite à valeurs dans $\N$.
$\bullet$ $(\sqrt{n})_{n\in\N}$ est une suite à valeurs dans $\R$.
$\bullet$ La fonction qui a tout entier pair associe $\mathit{Alice}$ et tout entier impair s’envoie sur $\mathit{Bob}$ est une suite à valeur dans $\{\mathit{Alice},\mathit{ Bob}\}$.
$\bullet$ Si $(u_n)_n$ est une suite, alors $(u_{n+1})_n$ et $(u_{2n})_n$ en est une aussi.