Unité imaginaire

L’unité imaginaire $i$ est définie formellement par $i^{2}=-1$. C’est la pierre angulaire de l’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.

Remarques

$\bullet$ Il est faux de dire que $i=\sqrt{-1}$ car la fonction racine carrée n’est définie que sur les réels positifs. L’origine de $i$ provient simplement d’une définition purement formelle. De la même manière que $\sqrt{2}$ n’a pas meilleure définition que "l’unique solution réelle positive telle que $x^2=2$", l’existence de $i$ est simplement forcée en tant que solution de l’équation $x^2+1=0$.

$\bullet$ On peut aussi définir $i$ géométriquement en sortant de l’ensemble des réels, où $x^2+1=0$ n’a pas de solution, pour passer au plan. Dans ce plan, la multiplication par $-1$ d’un vecteur $(x,y)$ donne $(-x,-y)$, soit un quart de tour. En définissant $i$ de telle sorte que la multiplication de $(x,y)$ par $i$ soit un demi-tour, c’est-à-dire $i\cdot(x,y)= (-y,x)$, on a bien que multiplier deux fois par $i$ équivaut à multiplier par $-1$. Ainsi $i^2=-1$.

Schéma de la représentation géométrique de $i$.

Pour aller plus loin, on remarque d’ailleurs que cette définition géométrique correspond bien à la définition des nombres complexes. En effet, le vecteur $(x,y)$ est représenté par l’affixe $z=x+iy$ qui, multiplié par $i$, donne
$$iz=i(x+iy)=i^2y+ix =-y+ix$$qui est justement l’affixe du vecteur $(-y,x)$ obtenu après un quart de tour !