Variété différentiable orientable

Intuition

Une variété est orientable si l’on peut choisir un « sens positif » de manière cohérente sur toute la variété, sans que ce sens s’inverse lorsqu’on se déplace.
Sur une surface, on peut imaginer choisir un sens de rotation : celui des aiguilles d’une montre ou son inverse.

Tirer le curseur pour visualiser : un cylindre est une surface orientable. Mais un ruban de Möbius, lorsqu’on effectue un tour complet en transportant cette orientation locale, on revient au point de départ avec le sens opposé. Le ruban de Möbius n’est donc pas orientable.

Définition formelle

Soit $M$ une variété différentiable de dimension $n$.

On dit que $M$ est orientable s’il existe un atlas orienté $(U_i,\varphi_i)_{i\in I}$, c’est-à-dire que, pour tous $i,j\in I$, les fonctions de transition sont de déterminant strictement positif :
$$\det D(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1})>0$$en tout point de $\varphi_i(U_i\cap U_j)$.