A very small $\sigma$-algebra

Let $X$ be a set. Show that
$\{\varnothing, X\}$ is a $\sigma$ -algebra^FR on $X$ .

Note: this $\sigma$ -algebra is sometimes called the trivial (or coarse) $\sigma$ -algebra.

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Solution by darktoasterFR

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On note $\mathcal{A}$ la tribu $\{\emptyset, X\}$
$\textbf{1)}$ Cette tribu contient bien $\emptyset$ et $X$
$\textbf{2)}$ Cette tribu est stable par complémentaire, en effet $\emptyset^{c} = X \in \mathcal{A}$ et $X^{c} = \emptyset \in \mathcal{A}$
$\textbf{3)}$ Cette tribu est stable par union dénombrable, en effet soit $(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d’éléments de $\mathcal{A}$ : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{A}$ . En effet, pour tout $n\in\mathbb N$ , $A_{n}$ est soit $\emptyset$ , soit $X$ . Donc l’union est soit $\emptyset$ (si $\forall n \in \mathbb{N}, A_{n} = \emptyset$ ), soit $X$ (si $\exists n \in \mathbb{N}, A_{n} = X)$ .

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