Asymptotic links between $x_n^n$ and $n\left(1-x_n\right)$

Implication dircecte: On peut écrire que $0\leqslant x_n^n\leqslant e^{-2A}$ à partir d’un certain rang dépendant de $\eta>0$.
On passe alors à la racine $n$-ème et on fait apparaître $n(1-x_n)$ qui vérifie ainsi l’inégalité $n(1-x_n)\geqslant n(1-e^{-2A/n})$.

Or $\displaystyle\frac{1-e^{-2A x}}{x}$ tend vers $2A$ quand $x$ tend vers $0$ (on remarque un taux d’accroissement qui tend vers la dérivée de $x\longmapsto e^{-2Ax}$ en $0$), donc on a la même limite pour $x=\frac{1}{n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$. Donc pour $n$ assez grand on peut minorer $n(1-x_n)$ par $A$ et ce, pour tout $A>0$. Ainsi $n(1-x_n)$ tend vers l’infini.

Implication réciproque: On veut montrer que $0\leqslant x_n^n\leqslant \varepsilon$ à partir d’un certain rang. Or pour $A>0,$ on a qu’il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geqslant n_0,\,n(1-x_n)\geqslant A$. Donc $0\leqslant x_n^n\leqslant (1-\frac{A}{n})^n$, qui approche $e^{-A}$ à $\frac{\varepsilon}{2}$ près (que que c’en est la limite, passer au log pour le voir). Il ne nous reste plus qu’à prendre $A=-\ln(\frac{\varepsilon}{2})$ (avec $0<\varepsilon<2$) pour conclure que $(x_n^n)_n$ tend^FR vers $0$.