Bases de même longueur, même aire… sommets du triangle sur une parallèle ?

Soient 2 triangles $ABC$ et $FDE$ qui, d’une part, ont des bases de même longueur $[BC]=[DE]$ , et qui, d’autre part ont la même aire : $[ABC]=[FDE]$ .

Montrer que les droites $(BE)$ et $(AF)$ sont parallèles

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notations $[ABC]$ et $[ABCD]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ et d’un quadrilatère $ABCD$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 40

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Solution by goldfinch

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Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde, en supposant que la droite $(AF)$ n’est pas parallèle à $(BE)$ .

Dans ce cas, nous pourrons construire une parallèle à $(BE)$ passant par A (pour construire cette parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?). Cette nouvelle droite passera soit au-dessus du point $F$ ou en dessous du point $F$ . Envisageons les deux cas de figure.

$\textbf {Si la droite passe au-dessus de F}$

Nous pouvons alors positionner un point $G$ sur cette droite, à l’intersection entre cette nouvelle droite et $(DF)$ .

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $GDE$ . Ils ont des bases de même longueur $BC=DE$ , et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(BE)$ et $(AG)$ . Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Le sommet d’un triangle a glissé parallèlement à sa base… et l’aire ?), soit : $[ABC]=[GDE]$ .

Or, par hypothèse, nous avons aussi $[ABC]=[FDE]$ , donc on en déduit que $[GDE]=[FDE]$ ce qui est en contradiction avec le fait que l’aire de $FDE$ est une partie de l’aire de $GDE$ .

$\textbf {Si la droite passe en-dessous de F}$

Le raisonnement est exactement le même, en construisant un point $H$ à l’intersection entre la parallèle à $(BE)$ et $(DF)$ . On aboutit à une nouvelle contradiction analogue à celle ci-dessus avec l’aire de $HDE$ qui ne peut être à la fois égale à celle de $FDE$ et en même temps être une partie de l’aire de $FDE$

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