Bases de même longueur, même aire… sommets du triangle sur une parallèle ?

Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde, en supposant que la droite $(AF)$ n’est pas parallèle à $(BE)$.

Dans ce cas, nous pourrons construire une parallèle à $(BE)$ passant par A (pour construire cette parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?). Cette nouvelle droite passera soit au-dessus du point $F$ ou en dessous du point $F$. Envisageons les deux cas de figure.

1. $\textbf {Si la droite passe au-dessus de F}$

Nous pouvons alors positionner un point $G$ sur cette droite, à l’intersection entre cette nouvelle droite et $(DF)$.

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $GDE$. Ils ont des bases de même longueur $BC=DE$ , et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(BE)$ et $(AG)$. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Le sommet d’un triangle a glissé parallèlement à sa base… et l’aire ?), soit : $[ABC]=[GDE]$.

Or, par hypothèse, nous avons aussi $[ABC]=[FDE]$, donc on en déduit que $[GDE]=[FDE]$ ce qui est en contradiction avec le fait que l’aire de $FDE$ est une partie de l’aire de $GDE$.

2. $\textbf {Si la droite passe en-dessous de F}$

Le raisonnement est exactement le même, en construisant un point $H$ à l’intersection entre la parallèle à $(BE)$ et $(DF)$. On aboutit à une nouvelle contradiction analogue à celle ci-dessus avec l’aire de $HDE$ qui ne peut être à la fois égale à celle de $FDE$ et en même temps être une partie de l’aire de $FDE$