$\C$ est algébriquement clos par Galois !

On conidère $P$ un polynôme complexe. Voyons $\C$ comme une extension de $\R$ et on considère $\mathbb{K}$ une extension de $\C$ en tant que corps de décomposition de $P$. C’est-à-dire que $\mathbb{K}=\C[z_1,\dots,z_d]$ est l’ensemble des polynômes en les racines de $P$.
Le but de l’exercice est de montrer que $\mathbb{K}=\C$, soit que $P$ ne possède que des racines complexes et donc $\C$ est algébriquement clos.

1. Montrer que $\mathbb{K}$ est une extension galoisienne^EN de $\R$.
On considère $G$ le groupe des automorphismes de corps sur $\mathbb{K}$ qui préserve $\R$.

La question $1.$ indique qu’on peut donc appliquer la correspondance de Galois, ainsi la fonction qui a un sous-groupe $H$ de $G$ associe $\mathbb{K}^{H}:=\{x\in \mathbb{K}/ h(x)=x, \forall h\in H\}$ est une bijection à image dans les extensions de $\R$ incluses dans $\mathbb{K}$. On a aussi l’égalité $[\mathbb{K}^H:\R]=[G:H]$ entre degré d’extension^EN et indice de groupe.

2. Que dire de $H$ si $\mathbb{K}^H=\mathbb{R}$ ?

3. Soit $S$ un $2$-Sylow de $G$. En utilisant le problème Extensions de $\R$ et $\C$ ainsi que la correspondance de Galois, montrer que $G=S$.

On pose maintenant $G'$ le groupe des automorphismes de corps^EN sur $\mathbb{K}$ qui préserve $\C$.

4. Montrer que $G'$ est un sous-groupe de $G$. En déduire que c’est un $2$-groupe (ou le groupe trivial).

On suppose que $G'\neq\{Id\}$ par l’absurde. On considère alors un sous-groupe $H$ d’indice $2$ de $G'$, qui existe par le problème Existence du sous-groupe strict d’un $p$-groupe.

5. En appliquant la correspondance de Galois à $\mathbb{K}$ en tant qu’extension de $\C$ ainsi que le problème Extensions de $\R$ et $\C$, conclure quant à une absurdité.

6. Conclure que $\mathbb{K}=\C$.