Carrés imbriqués

On considère un petit carré imbriqué dans un grand carré de côté $1$ , tels que les sommets du petit carré sont sur les milieux des côtés du grand carré, comme sur la figure suivante.

Quelle est la longueur des côtés du petit carré ?

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Solution by goldfinch

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Une solution "à la Euclide"

Si on coupe le petit carré en 4 triangles à l’aide de ses deux diagonales $EG$ et $FH$ , et qu’on regarde ensuite les quatres carrés du grand carré, formés de triangles voisins (par exemple le carré $AEIF$ constitué des deux triangles $AEF$ et $EIF$ ), on peut montrer que ces triangles voisins sont égaux en aire (voir problème Propriétés du parallélogramme). Ainsi le grand carré est constitué de 8 triangles identiques et le petit carré de 4 triangles identiques. L’aire du petit carré est donc la moitié de l’aire du grand carré, qui vaut 1. Donc le petit carré a une aire qui vaut $1/2$ donc un côté qui vaut $\sqrt {2}/2$ .

Une solution "à la pythagore"

Le côté du petit carré est l’hypoténuse des triangles situés entre petit carré et le grand carré (par exemple FG côté du petit carré est l’hypoténuse du triangle rectangle $BFG$ de côté $1/2$ . Avec la relation de Pythagore, on a donc :
$FG^{ 2}=BF^{2}+BG^{2}=1/4+1/4=1/2$ donc $FG=\sqrt {2}/2$

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