Construction d’une gamme par quintes en musique

En musique, une note de fréquence $F$ et une note de fréquence $2F$ sont considérées
comme la même note, à une octave près (par exemple deux "do" proches sont dans ce cas). Monter d’une quinte correspond à multiplier la fréquence par $\frac{3}{2}$ (passage de "do" à "sol", sa quinte, par exemple).
On part d’une fréquence $F_0$. On construit une suite de fréquences $(f_n)$ par récurrence. On commence par $f_0:=F_0$ puis, à chaque étape, on multiplie la fréquence par $\frac{3}{2}$ et on multiplie ou divise ensuite par une puissance de $2$ afin de ramener la fréquence dans l'octave de référence $[F_0,2F_0[$ (par exemple entre deux "do" proches comme expliqué précédemment).

Ainsi, après $n$ quintes,
$$f_n=F_0\frac{(3/2)^n}{2^{k_n}},$$où $k_n$ est l’unique entier tel que
$$F_0\leq f_n<2F_0.$$

1. Calculer $f_1,\ldots,f_6$ sous la forme
   $$f_n=r_nF_0,$$où on vérifiera que
   $$1\leq r_n<2.$$

En musique, l’intervalle entre deux fréquences $f$ et $g$ dépend du rapport $\frac{g}{f}$. Il est donc naturel de représenter les fréquences sur une échelle logarithmique. À toute fréquence $f\in[F_0,2F_0[$, on associe le nombre :
$$x=\log_2\left(\frac{f}{F_0}\right)\in[0,1[.$$

2. Calculer les valeurs $x_n$ correspondant aux douze premières fréquences
   $$f_0,f_1,\ldots,f_{11},$$puis les placer sur le segment $[0,1[$.

• Comparer leur répartition à celle des douze points
  $$0,\frac{1}{12},\frac{2}{12},\ldots,\frac{11}{12},$$qui correspondent aux douze notes également espacées de la gamme chromatique tempérée.

• Les points obtenus sont-ils régulièrement espacés ? On ne demande pas une réponse rigoureuse mais intuitive.

Afin de revenir exactement à la note initiale après $n$ quintes, soit obtenir $r_n=1$, il nous faudrait prouver l’existence d’entiers $n\geq1$ et $m$ tels que
$$\left(\frac{3}{2}\right)^n=2^m.$$

3. Montrer qu’une telle égalité est impossible.

• Vérifier cependant que
  $$\left(\frac{3}{2}\right)^{12}$$est "proche" d’une puissance de $2$. Déterminer cette puissance.

• Faire de même pour
  $$\left(\frac{3}{2}\right)^{53}.$$

4. Pour chacun des cas $n=12$ et $n=53$, calculer l’erreur relative
   $$\varepsilon= \left| \frac{(3/2)^n}{2^m}-1 \right|\times100,$$exprimée en pourcentage, où $2^m$ est la puissance de $2$ déterminée à la question précédente.

• Comparer les deux approximations.

Remarque: Ces calculs montrent qu’à la fin de ces cycles de quintes consécutives, on retombre sur une note assez proche de l’otave.
Le cycle $n=12$ explique le fait que, dans la musique occidentale, nous avons une gamme à $12$ notes (do,do#,ré,ré#,mi,fa,fa#,sol, sol#,la,la#,si).
D’un point de vue acoustique, il aurait été mieux de faire une gamme à $53$ notes, mais la fabrication des instruments aurait été notablement plus difficile ......