Construction géométrique pour couper un angle en deux angles égaux

Positionner d’abord un point quelconque $D$ entre $A$ et $B$.

Construire ensuite le point $E$ sur $AC$ tel que $AE=AD$ (pour cette construction, voir problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2))

Construire ensuite un triangle équilatéral $DEF$, du côté opposé à A pour plus de précision dans le tracé (pour cette construction, voir problème Méthode pour construire un triangle équilatéral)

Considérons maintenant les deux triangles $ADF$ et $AEF$. Ils ont la même base $AF$ et les deux autres côtés sont égaux entre eux : $AD=AE$ par définition et $DF=EF$ par construction. Ainsi ces deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point voir problème Triangles dont les longueurs des côtés sont égales).
En particulier l’angle $\widehat {DAF}$ sera égal à l’angle $\widehat {FAE}$ , donc la droite $AF$ ainsi construite permet bien de coupler l’angle $\widehat {BAC}$ en deux angles égaux