Construction géométrique pour couper un angle en deux angles égaux

Soit l’angle $\widehat {BAC}$ . Proposer une méthode à la règle et au compas collapsible qui permette de couper l’angle BAC en deux angles égaux entre eux

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Euclide — Éléments

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Livre 1, proposition 9

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Solution by goldfinch

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Positionner d’abord un point quelconque $D$ entre $A$ et $B$ .

Construire ensuite le point $E$ sur $AC$ tel que $AE=AD$ (pour cette construction, voir problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2))

Construire ensuite un triangle équilatéral $DEF$ , du côté opposé à A pour plus de précision dans le tracé (pour cette construction, voir problème Méthode pour construire un triangle équilatéral)

Considérons maintenant les deux triangles $ADF$ et $AEF$ . Ils ont la même base $AF$ et les deux autres côtés sont égaux entre eux : $AD=AE$ par définition et $DF=EF$ par construction. Ainsi ces deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point voir problème Triangles dont les longueurs des côtés sont égales).
En particulier l’angle $\widehat {DAF}$ sera égal à l’angle $\widehat {FAE}$ , donc la droite $AF$ ainsi construite permet bien de coupler l’angle $\widehat {BAC}$ en deux angles égaux

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