Des angles alternes-internes aux parallèles

Soient deux droites $(AB)$ et $(CD)$ , et une sécante aux deux droites, qui coupe $(AB)$ en $E$ et $(DC)$ en $F$ .

Montrer que , si les deux angles d’un couple d'angles alternes-internes sont égaux, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 27

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Solution by goldfinch

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Supposons par exemple les angles $\widehat {BEF}$ et $\widehat {CFE}$ égaux : $\bf\widehat {BEF}=\widehat {CFE}$ (le raisonnement à mener est exactement le même si on suppose $\widehat {AEF}=\widehat {DFE}$ )

Effectuons un raisonnement par l’absurde, en supposant que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
Si $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles, il existe un point d’intersection $G$ entre elles.

Considérons alors le triangle $GFE$ . L’angle $\widehat {CFE}$ extérieur à ce triangle est plus grand que chacun des angles opposés, internes à $GFE$ (pour la démonstration de ce point voir le problème Un côté du triangle se prolonge... et l’angle extérieur ?), en particulier on a donc : $\bf\widehat {CFE} >\widehat {BEF}$ .
Ceci est en contradiction avec l’égalité ci-dessus.

$\textbf {Conclusion}$ : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

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