Determinant of a matrix with consecutive integers

The following operations are transvections and hence do not change the determinant :
C3 becomes C3-C2 then C2 becomes C2-C1.
In the new matrix, C2=C3 (colums made up of 1) so the determinant is zero when n>=3.

For n=1, the determinant is 1.
For n=2, it is -2 (classic formula for a size 2 matrix).

Montrons que $\det A_1=1, \det A_2=-2$ puis $\det A_n=0\ \text{ pour tout } n\geqslant 3$

Les deux premiers cas sont immédiats : $\det A_1=1$ et $\det A_2=1\times 4-2\times 3=-2$.

Cas $n\geqslant 3$ : une relation entre les lignes. Notons $L_1,\dots,L_n$ les lignes de $A_n$. Pour tout $i$, la $i$-ième ligne est
$$L_i=\bigl((i-1)n+1,\ (i-1)n+2,\ \dots,\ (i-1)n+n\bigr)=L_1+(i-1)n\,J,\qquad J:=(1,1,\dots,1).$$Deux lignes consécutives diffèrent donc du vecteur constant $nJ$, indépendamment de $i$ :
$$L_{i+1}-L_i=n\,J.$$En particulier $L_3-L_2=L_2-L_1$, c’est-à-dire
$$L_1-2L_2+L_3=0.$$Comme $n\geqslant 3$, ces trois lignes existent bel et bien, et cette combinaison linéaire non triviale montre qu’elles sont liées. Le déterminant est donc nul.

Structure sous-jacente. L’écriture $a_{i,j}=(i-1)n+j$ sépare complètement les indices : en posant $u=\bigl((i-1)n\bigr)_{1\leqslant i\leqslant n}$ et $v=(j)_{1\leqslant j\leqslant n}$, on a
$$A_n=u\,J^{\mathsf T}+J\,v^{\mathsf T},$$somme de deux matrices de rang $1$. D’où $\operatorname{rg}(A_n)\leqslant 2$, et l’annulation du déterminant dès que $n\geqslant 3$. Le rang vaut exactement $2$ pour $n\geqslant 2$, puisque $u$ et $J$ ne sont pas colinéaires. $\blacksquare$

Remarques

• On peut aussi conclure par opérations élémentaires : $C_j\leftarrow C_j-C_1$ transforme la $j$-ième colonne en la colonne constante $(j-1)J^{\mathsf T}$. Toutes les colonnes d’indice $j\geqslant 2$ deviennent alors proportionnelles à $J^{\mathsf T}$, donc deux d’entre elles au moins sont colinéaires dès que $n\geqslant 3$.
• La valeur $-2$ pour $n=2$ n’a rien d’exceptionnel : c’est simplement le cas où la contrainte de rang $\leqslant 2$ n’est pas encore restrictive. Le rang de $A_n$ vaut $1$ pour $n=1$ et $2$ pour tout $n\geqslant 2$.
• Le phénomène ne tient pas au choix particulier des entiers $1,2,\dots,n^{2}$, mais à leur disposition en progression arithmétique ligne après ligne. Toute matrice $\bigl(\alpha+\beta i+\gamma j\bigr)_{i,j}$ a un rang $\leqslant 3$, et $\leqslant 2$ si $\alpha=0$ ou si l’on soustrait une ligne à toutes les autres.
• Contre-exemple à une généralisation hâtive. Remplir la matrice en colonnes plutôt qu’en lignes donne $A_n^{\mathsf T}$, de même déterminant. En revanche, une disposition « en serpentin » (lignes alternativement croissantes et décroissantes) brise la structure : pour $n=3$ on obtient $\begin{pmatrix}1&2&3\\6&5&4\\7&8&9\end{pmatrix}$, de déterminant $-24\neq 0$.