Deux angles d’un triangle... jusqu’où peuvent-ils aller ?

Traitons par exemple le cas de la somme des mesures des angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ .

Pour ceci, positionnons un point D sur la droite (BC) dans le prolongement du segment $[BC]$.

Nous pouvons montrer que l’angle extérieur au triangle $\widehat {ACD}$ est plus grand que l’angle $\widehat {ABC}$ (pour la démonstration de ce point voir le problème Un côté du triangle se prolonge... et l’angle extérieur ?), soit : $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$ (1)

Par ailleurs, nous pouvons montrer que la somme des angles adjacents et supplémentaires $\widehat {ACD}$ et $\widehat {ACB}$ est égale à la somme de deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?).

En ajoutant l’angle $\widehat {ACB}$ aux deux termes de l’inégalité (1), nous obtenons : $\widehat {ACD}+\widehat {ACB}>\widehat {ABC}+\widehat {ACB}$ . Comme vu précédemment, la somme des angles $\widehat {ACD}$ et $\widehat {ACB}$ est égale à la somme de deux angles droits, nous permettant ainsi de conclure que la somme des angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ est inférieure à la somme de deux angles droits, ce qu’il fallait démontrer.

NB : Le même raisonnement peut être effectué de la même façon avec n’importe quelle paire d’angles du triangle.