Deux triangles, deux côtés égaux… que change l’angle ?

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ dont deux côtés sont de longueur égale deux à deux $AB=DE$ et $AC=DF$ , et dont l’angle $\widehat {BAC}$ contenu entre ces deux côtés du triangle $ABC$ a une mesure supérieure à celle de l’angle $\widehat {EDF}$ contenu entre les deux côtés respectifs du triangle $DEF$ .

Montrer que, dans ces conditions, le troisième côté du triangle $ABC$ a une longueur supérieure à celle du troisième côté du triangle $DEF$ , soit $BC>EF$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 24

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Solution by goldfinch

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Les hypothèses sont donc les suivantes : $AB=DE$ , $AC=DF$ et $\widehat {BAC}>\widehat {EDF}$ .
Il faut montrer que $\bf BC>EF$ .

Une première étape consiste à reproduire l’angle $\widehat {BAC}$ en D, sur la droite $(DE)$ (pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet), avec le point G positionné tel que $DG=AC$ . Nous avons donc maintenant deux droites $(DE)$ et $(DG)$ définissant le nouvel angle isométrique $\widehat {EDG}=\widehat {BAC}$ . Notons que $\widehat {EDG}>\widehat {EDF}$ par construction.

Considérons les deux triangles $ABC$ et $DEG$ , qui ont deux côtés égaux deux à deux $AB=DE$ et $AC=DG$ , et un angle égal $\widehat {BAC}=\widehat {EDG}$ . Nous pouvons en déduire que le troisième côté des deux triangles est égal aussi (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?), donc : $\bf EG=BC$ (1).

Considérons maintenant le triangle $DFG$ . Il est isocèle en $D$ car les côtés $DG$ et $DF$ sont tous deux égaux à $AB$ par définition et par construction. Par conséquent les deux angles à la base du triangle sont égaux aussi (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?), soit : $\bf \widehat {DFG}=\widehat {DGF}$ (2)

Or $\widehat {DGF}>\widehat {EGF}$ car $\widehat {EGF}$ est une partie de $\widehat {DGF}$ . Si nous couplons cette inégalité avec (2) nous pouvons en déduire que : $\bf \widehat {DFG}>\widehat {EGF}$ (3)

Par ailleurs, $\widehat {EFG}>\widehat {DFG}$ car $\widehat {DFG}$ est une partie de $\widehat {EFG}$ , et par conséquent si nous couplons ceci avec (3) nous en concluons que : $\bf \widehat {EFG}>\widehat {EGF}$ (4)

Finalement, considérons le triangle EFG. Nous pouvons montrer que, lorsque dans un triangle un angle est supérieur à un autre angle, alors le côté qui est opposé à l’angle le plus grand est plus grand que le côté qui est opposé à l’angle plus petit (pour démontrer ce point, voir le problème Le plus grand angle d’un triangle est soutenu par son plus grand côté). Si nous appliquons ceci au triangle EFG et utilisons l’inégalité (4), nous pouvons en conlure que :
$\bf EG>EF$ (5)

Comme vu en (1), EG=BC, donc l’inégalité (5) peut aussi s’écrire $\bf BC>EF$ , ce qu’il fallait démontrer.

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