Même angle, autre sommet

Soit un point $F$ quelconque positionné sur la droite $(DE)$. La construction va consister en une reproduction du triangle $DCF$ vers le sommet $A$, avec un des côtés sur $(AB)$.

Considérons donc le triangle $CDF$ : celui-ci vérifie les inégalités de longueurs des côtés du triangle, soit : $DC+CF>DF$, $DC+DF>CF$ et $CF+DF>DC$ (pour creuser ce point, voir le problème Deux côtés d’un triangle réunis… que valent-ils face au troisième ?).

A partir de ces trois longueurs, vérifiant ces trois inégalités, nous pouvons construire en $A$ un triangle $AHL$ ayant ces mêmes longueurs de côtés (pour cette construction, voir le problème L’atelier d’Euclide : trois longueurs… comment en faire un triangle ?).
Détaillons les principales étapes de cette construction : construire le point G sur $(AB)$ tel que $AG=DF$, puis le point $H$ sur $(AB)$ tel que $AH=DC$, et enfin le point $I$ sur $(AB)$ tel que $HI=CF$. Il suffit alors de construire l’intersection L des deux cercles, l’un de de centre $A$ et de rayon $AG$ et l’autre de centre $H$ et de rayon $HI$.

Ce nouveau triangle $AHL$ aura donc bien pour côtés $AL=DF$, $AH=DC$ et $HL=CF$.
Or deux triangles ayant les trois côtés égaux deux à deux ont aussi leurs trois angles égaux deux à deux (pour cette démonstration voir le problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ?), en particulier, nous aurons donc l’égalité $\widehat {CDF}=\widehat {HAL}$, ce qu’il fallait réaliser.