Même angle, autre sommet

Soit un point $F$ quelconque positionné sur la droite $(DE)$.

Considérons le triangle $CDF$ : celui-ci a trois côtés de longueur $DC$, $CF$ et $DF$ vérifiant les inégalités $DC+CF>DF$, $DC+DF>CF$ et $CF+DF>DC$ (pour démontrer ce point, voir le problème Une propriété de la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle).

A partir de ces trois longueurs vérifiant ces trois inégalités, nous pouvons construire en $A$ un triangle $AGH$ ayant ces mêmes longueurs de côtés (pour cette construction, voir le problème L’atelier d’Euclide : trois longueurs, un triangle).

Ce nouveau triangle $AGH$ aura donc pour côtés $AG=DC$, $GH=CF$ et $AH=DF$.
Or deux triangles ayant les côtés égaux deux à deux ont aussi leurs angles égaux deux à deux (pour cette démonstration voir le problème Triangles dont les longueurs des côtés sont égales), en particulier, nous aurons donc l’égalité $\widehat {CDH}=\widehat {GAH}$, ce qu’il fallait réaliser.