Et la réciproque du théorème de Pythagore ?

Rappelons la propriété supposée du triangle $ABC$ : $\bf [BCIH]=[EDAB]+[AGFC]$ (1)

Construire le point J se trouvant sur la perpendiculaire à $(AC)$ passant par A, tel que $AJ=BA$ (pour cette construction, voir le problème Construction géométrique d’une droite perpendiculaire à une autre droite (1)).

Considérons le triangle $AJC$. Celui-ci est rectangle en A par définition d’une droite perpendiculaire. Etant rectangle, il respecte donc la propriété suivante : l’aire du carré construit sur le côté opposé à l’angle droit est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés (pour la démonstration de cette propriété, voir le problème Quand Euclide démontre Pythagore…..), soit :
$\bf [CJLK]=[ACPB]+[AJMD]$ (2)

Or $[ACPB]=[AGFC]$ vu que les deux carrés sont construits sur le même côté, et $[AJMD]=[EDAB]$ vu que par hypothèse $[AJ]=[BA]$.
Avec (2), nous pouvons donc écrire : $[CJLK]=[AGFC]+[EDAB]$
Ce qui, couplé avec (2) nous permet de conclure à l’égalité des aires des deux carrés $CJLK$ et $BCIH$ : $[CJLK]=[BCIH]$ , et donc aussi :
$\bf CJ=BC$ (3)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $AJC$. Leurs trois côté sont égaux : en effet le côté $AC$ est commun aux deux, de plus $AJ=BA$ par hypothése, et avec (3) on a $CJ$=$BC$.

Or deux triangles ayant les trois côtés égaux deux à deux ont aussi leurs trois angles égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Triangles dont les longueurs des côtés sont égales).
En particulier les deux angles opposés aux côtés $CJ$ et $BC$ seront égaux : $\widehat {BAC}=\widehat {CAJ}$ . Or, par construction, l’angle $\widehat {CAJ}$ est un angle droit, donc l’angle $\widehat {BAC}$ sera bien un angle droit aussi , ce qu’il fallait démontrer.