Mes premières bijections

1) $f$ est bijective

Injectivité de $f$ :
Soient $n_1$ et $n_2$ dans $\Z$ tels que $f(n_{1}) = f(n_{2})$
On a $n_{1} + 2 = n_{2} + 2$
Donc en simplifiant par $2$ : $n_{1} = n_{2}$
$f$ est injective

Surjectivité de $f$ :
Soit $k \in \Z$
$k$ admet $k - 2$ comme antécédent par $f$ dans $\Z$
En effet, $f(k-2) = (k-2)+2 = k$

$f$ est injective et surjective donc bijective.
En bonus, on peut expliciter la bijection réciproque de $f$ :
$f^{-1}\colon \left\{ \begin{array}{l} \Z \longrightarrow \Z \\ n \longmapsto n - 2 \end{array} \right.$

2) $g$ est bijective

Injectivité de $g$ :
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $\R$ tels que $g(x_{1}) = g(x_{2})$
On a $2x_{1}+1 = 2x_{2}+1$
En simplifiant par $1$ puis par $2$ : $x_{1}=x_{2}$

Surjectivité de $g$ :
Soit $y \in \R$
$y$ admet $\frac{y-1}{2}$ comme antécédent par $g$ dans $\R$
En effet, $g(\frac{y-1}{2}) = 2 \frac{y-1}{2} + 1 = y$

$g$ est injective et surjective donc bijective.
En bonus, on peut expliciter la bijection réciproque de $g$ :
$g^{-1} \colon \left\{ \begin{array}{l} \R \longrightarrow \R \\ x \longmapsto \frac{x-1}{2} \end{array} \right.$

3) $h$ est bijective

Injectivité de $h$ :
Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ dans $\mathcal{P}(\N)$ telles que $h(A_{1}) = h(A_{2})$
On a : $(A_{1})^{c} = (A_{2})^{c}$
En passant au complémentaire dans l’égalité : $A_{1} = A_{2}$

Surjectivité de $h$ :
Soit $A \in \mathcal{P}(\N)$
$A$ admet $A^{c}$ comme antécédent par $h$ dans $\mathcal{P}(\N)$
En effet : $h(A^{c}) = (A^{c})^{c} = A$

$h$ est injective et surjective donc bijective.
En bonus, on peut expliciter la bijection réciproque de $h$ :
$h^{-1} \colon \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{P}(\N) \longrightarrow \mathcal{P}(\N) \\ A \longmapsto A^{c} \end{array} \right.$
D’ailleurs on remarque que $h = h^{-1}$. On dit $h$ est une involution.
Appliquer deux fois $h$ (le complémentaire) à un ensemble redonne ce même ensemble.