Mêmes parallèles, bases égales… même aire des triangles ?

Construisons les point $G$ sur la droite $(AD)$ tel que $(GB)$ soit parallèle à $(AC)$, et H sur la droite $(AD)$ tel que $(EH)$ soit parallèle à $(FD)$. Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes, $ACBG$ et $DFEH$.

Ces deux parallélogrammes ont des bases de même longueur $[BC]=[EF]$, et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(AD)$ et $(BF)$, donc nous pouvons prouver que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Mêmes parallèles, bases égales ... même aire des parallélogrammes ?), soit :
$\bf [ACBG]=[DFEH]$ (1)

Nous pouvons aussi montrer que la diagonale $[AB]$ coupe le parallélogramme $ACBG$ en deux triangles $ABG$ et $ABC$ superposables, dont tous les côtés sont égaux deux à deux et dont tous les angles sont égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir problème Propriétés du parallélogramme), donc leurs aires sont égales aussi : $\bf [ABG]=[ABC]$ (2)

Il en est de même si on coupe le parallélogramme $DFEH$ en deux triangles, avec la diagonale $[DE]$. Un raisonnement analogue nous conduit à l’égalité des aires deux triangles :
$\bf [DEF]=[DEH]$ (3)

En développant (1), nous obtenons $[ABC]+[ABG]=[DEF]+[DEH]$ , ce qui couplé avec Avec (2) et (3), nous permet d’obtenir l’égalité des triangles à démontrer :
$\bf [ABC]=[DEF]$