Mêmes parallèles, bases égales… même aire des triangles ?

Soient 2 triangles $ABC$ et $DEF$ qui, d’une part, ont des base de même longueur $[BC]=[EF]$ , et qui, d’autre part, sont construits entre les mêmes parallèles $(BF)$ et $(AD)$ .

Montrer que les aires des deux triangles sont égales : $\bf [ABC]=[DEF]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notations $[ABC]$ et $[ABCD]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ et d’un quadrilatère $ABCD$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 38

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Solution by goldfinch

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Construisons les point $G$ sur la droite $(AD)$ tel que $(GB)$ soit parallèle à $(AC)$ , et H sur la droite $(AD)$ tel que $(EH)$ soit parallèle à $(FD)$ . Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes, $ACBG$ et $DFEH$ .

Ces deux parallélogrammes ont des bases de même longueur $[BC]=[EF]$ , et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(AD)$ et $(BF)$ , donc nous pouvons prouver que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Mêmes parallèles, bases égales ... même aire des parallélogrammes ?), soit :
$\bf [ACBG]=[DFEH]$ (1)

Nous pouvons aussi montrer que la diagonale $[AB]$ coupe le parallélogramme $ACBG$ en deux triangles $ABG$ et $ABC$ superposables, dont tous les côtés sont égaux deux à deux et dont tous les angles sont égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir problème Propriétés du parallélogramme), donc leurs aires sont égales aussi : $\bf [ABG]=[ABC]$ (2)

Il en est de même si on coupe le parallélogramme $DFEH$ en deux triangles, avec la diagonale $[DE]$ . Un raisonnement analogue nous conduit à l’égalité des aires deux triangles :
$\bf [DEF]=[DEH]$ (3)

En développant (1), nous obtenons $[ABC]+[ABG]=[DEF]+[DEH]$ , ce qui couplé avec Avec (2) et (3), nous permet d’obtenir l’égalité des triangles à démontrer :
$\bf [ABC]=[DEF]$

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