Mes premières matrices nilpotentes

Montrer que les matrices $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &0\end{pmatrix}$ ainsi que $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ sont nilpotentes. Déterminer leurs indices de nilpotence.

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Solution by darktoaster

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$\textbf{Première matrice}$
Par calcul matriciel : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0&0 \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0&0 \end{pmatrix} = \textbf{0}_{2}$
Par ailleurs $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0&0 \end{pmatrix}^{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \ne \textbf{0}_{2}$
Donc $p= 2$ est le plus petit entier naturel tel que $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0&0 \end{pmatrix}^{p} = \textbf{0}_{2}$ . L’indice de nilpotence de $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ est $2$ .
$\newline$
$\textbf{Deuxième matrice}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0&0 & 0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \ne \textbf{0}_{3}$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} ^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}^{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0&0 & 0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} = \textbf{0}_{3}$

L’indice de nilpotence de $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$ est $3$ .

$\textbf{Troisième matrice}$

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1&1 \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0&0 \end{pmatrix} = \textbf{0}_{2}$
Par ailleurs $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1&1 \end{pmatrix} ^1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1&1 \end{pmatrix} \ne \textbf{0}_{2}$
Donc l’indice de nilpotence de $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1&1 \end{pmatrix}$ est $2$ .

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