Méthode pour construire un triangle isocèle

Soit un segment $AB$ . Proposer une méthode à la règle et au compas pour construire un triangle isocèle de base $AB$ et dont les deux autres côtés ont chacun une longueur de $2\times AB$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1

Proposition 1, scolie.

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Tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ , puis le cercle de centre $B$ et de rayon $AB$ . Ces deux cercles permettent de définir deux points $D$ et $C$ sur la droite contenant $AB$ . $BD$ et $AC$ sont donc des diamètres de ces cercles de rayon identique ; par suite $BD=AC=2*AB$ (1)

Tracer ensuite le cercle de centre $A$ et de rayon $AC$ , puis le cercle de centre $B$ et de rayon $BD$ . De (1) on déduit que ces deux cercles ont le même rayon qui vaut $2*AB$ .

L’intersection E des deux cercles constitue le troisième sommet d’un triangle isocèle AEB isocèle en E. En effet, AE est un rayon du grand cercle de rayon AC , donc $AE=2*AB$ , et $BE$ est un rayon du deuxième grand cercle de rayon $BD$ donc $BE=2*AB$ ; ainsi $AE=BE=2*AB$ .

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