Méthode pour construire un triangle isocèle

Soit un segment $[AB]$ . Proposer une méthode à la règle et au compas collapsible pour construire un triangle isocèle de base $[AB]$ et dont les deux autres côtés ont chacun une longueur de $2\times AB$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1

Proposition 1, scolie.

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Tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ , puis le cercle de centre $B$ et de rayon $AB$ . Ces deux cercles permettent de définir les points $D$ et $C$ intersections des deux cercles avec la droite $(AB)$ .

$BD$ et $AC$ sont donc des diamètres de ces deux cercles de rayon identique $AB$ ; par suite :
$BD=AC=2\times AB$ (1)

Tracer ensuite le cercle de centre $A$ et de rayon $AC$ , puis le cercle de centre $B$ et de rayon $BD$

De (1) on déduit que ces deux cercles ont le même rayon qui vaut : $2\times AB$ .

L’intersection $E$ des deux cercles de rayon $2\times AB$ constitue le troisième sommet d’un triangle isocèle $AEB$ isocèle en $E$ . En effet, $AE$ est un rayon du grand cercle de rayon $AC$ , donc $AE=2*AB$ , et $BE$ est un rayon du deuxième grand cercle de rayon $BD$ donc $BE=2*AB$ ; ainsi $AE=BE=2*AB$ .

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