Nilpotente et antisymétrique ?

Soit $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ nilpotente et antisymétrique. On remarque que la matrice $A^{2}$ est symétrique car $(A^{2})^{T}=(A^{T})^{2}=(-A)^{2}=A^{2}$. Elle est également nilpotente car il existe $k\in\mathbb{N}^{*}$ tel que $A^{k}=0$ donc $(A^{2})^{k}=(A^{k})^{2}=0.$ La matrice $A^{2}$ étant symétrique réelle, elle est diagonalisable par le théorème spectral. D’autre part, puisqu’elle est nilpotente, son spectre est réduit à $\set{0}$ (car inclus dans l’ensemble des racines du polynôme annulateur $X^{k}$). La matrice $A^{2}$ est donc nulle car semblable à la matrice nulle. En munissant $M_{n}(\mathbb{R})$ de la norme euclidienne induite par le produit scalaire canonique $\left<B,C\right>=\mathrm{Tr}(B^{T}C)$ on a $||A||^{2}=\mathrm{Tr}(A^{T}A)=-\mathrm{Tr}(A^{2})=0$ donc $A=0.$