Périmètre maximal d'un triangle

Quel est le périmètre maximal d’un triangle dont les sommets sont sur le cercle unité ?

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Solution by Ancient Tree

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Sans perte de généralité, quitte à tourner la figure, on peut supposer que l’un des points du triangle est au point d’affixe $1$ .
Notons $e^{i\alpha}$ et $e^{i\beta}$ les affixes des deux autres points.
On souhaite donc maximiser la quantité $P(\alpha,\beta)=|e^{i\alpha}-1|+|e^{i\beta}-1|+|e^{i\alpha}-e^{i\beta}|$ .
En utilisant la méthode de la factorisation par l’angle moitié, classique lorsqu’on a des sommes ou différences d’exponentielles complexes, on obtient :
$P(\alpha,\beta)=2\left(\left|\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right|+\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|+\left|\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right|\right).$ Il faut donc trouver $\alpha$ et $\beta$ qui maximisent cette quantité.
Cela semble très difficile : on ne peut pas utiliser les techniques habituelles d’analyse (dérivées...), puisque les valeurs absolues nous en empêchent.
Ici, il y a une astuce pour se débarasser des valeurs absolues : sans perte de généralité, on peut supposer que $e^{i\alpha}$ se trouve sur le demi-cercle supérieur, tandis que $e^{i\beta}$ se trouve sur le demi-cercle inférieur.

Justification

En effet, si, disons, les deux étaient sur le demi-cercle supérieur (triangle orange sur la figure ci-dessous), alors on pourrait remplacer $e^{i\beta}$ par son conjugué $e^{-i\beta}$ pour obtenir un triangle de périmètre supérieur (triangle vert).

Ce triangle vert a un plus grand périmètre que le triangle orange : en effet, les deux triangles partagent 2 côtés, et on se convainc sans problème que le 3ème côté est plus grand pour le vert.

Ainsi : il suffit donc de maximiser $P(\alpha,\beta)=2\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)+\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right)$ (sans les valeurs absolues ! Et attention aux signes ! Comme $\alpha$ est compris entre $0$ et $\pi$ , et $\beta$ compris entre $-\pi$ et $0$ , on a bien $\alpha\geqslant \beta$ , et le dernier sinus est bien positif).
Ce problème d’optimisation est traité presque tel quel dans un autre problème, Un problème d’optimisation à trois sinus. On trouve, sans surprise, $\alpha=\frac{2\pi}{3}$ et $\beta=\frac{-2\pi}{3}$ , ce qui correspond à un triangle équilatéral !

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