Plus long, plus ouvert

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ dont deux côtés sont égaux deux à deux $AB=DE$ et $AC=DF$ , et pour lesquels le troisième côté du triangle $ABC$ est de longueur supérieure au troisième côté du triangle $DEF$ .

Montrer que, dans ces conditions, l’angle $\widehat {BAC}$ contenu entre les deux côtés $AB$ et $AC$ du triangle $ABC$ a une mesure supérieure à l’angle $\widehat {EDF}$ contenu entre les deux côtés $DE$ et $DF$ du triangle $DEF$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 25

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Solution by goldfinch

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Pour montrer que , l’angle $\widehat {BAC}$ a une mesure supérieure à l’angle $\widehat {EDF}$ , montrons que les deux situations $\widehat {BAC}=\widehat {EDF}$ et $\widehat {BAC}<\widehat {EDF}$ sont impossibles.

Supposons vraie l’égalité $\bf \widehat {BAC}=\widehat {DEF}$ .

Nous pouvons montrer que lorsque deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux, et que les angles entre ces deux côtés sont égaux aussi, alors les troisièmes côtés seront de longueur égale (pour démontrer ce point voir le problème Egalité de triangles (1)); ceci est contraire à l’énoncé .

Supposons vraie l’inégalité $\bf \widehat {BAC}<\widehat {DEF}$ .

Nous pouvons montrer que si deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux et que la mesure de l’angle entre les deux côtés du premier triangle est inférieure à celle de l’angle entre les deux côtés respectifs du deuxième triangle, alors le troisième côté du premier triangle a une longueur inférieure au troisième côté du second triangle (pour la démonstration de ce point, voir le problème Plus ouvert, plus long) ; ceci est contraire à l’énoncé.

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