Plus long, plus ouvert

Pour montrer que , l’angle $\widehat {BAC}$ a une mesure supérieure à l’angle $\widehat {EDF}$, montrons que les deux situations $\widehat {BAC}=\widehat {EDF}$ et $\widehat {BAC}<\widehat {EDF}$ sont impossibles.

1. Supposons vraie l’égalité $\bf \widehat {BAC}=\widehat {DEF}$ .

Nous pouvons montrer que lorsque deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux, et que les angles entre ces deux côtés sont égaux aussi, alors les troisièmes côtés seront de longueur égale (pour démontrer ce point voir le problème Egalité de triangles (1)); ceci est contraire à l’énoncé .

2. Supposons vraie l’inégalité $\bf \widehat {BAC}<\widehat {DEF}$.

Nous pouvons montrer que si deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux et que la mesure de l’angle entre les deux côtés du premier triangle est inférieure à celle de l’angle entre les deux côtés respectifs du deuxième triangle, alors le troisième côté du premier triangle a une longueur inférieure au troisième côté du second triangle (pour la démonstration de ce point, voir le problème Plus ouvert, plus long) ; ceci est contraire à l’énoncé.