Plus qu'une minute pour cette intégrale !

C’est l’examen final et il ne vous reste plus qu’une minute. La dernière question est une intégrale, dont la résolution vaut $5$ points :
$I=\int_{-\pi}^{\pi} x^{8}\sin x\,dx$

À votre gauche, votre voisin Tom s’est déjà lancé dans une intégration par parties. Il en est à sa deuxième page de calculs et visiblement en grande souffrance.

À votre droite, Alexa, votre autre voisine, s’arrête un instant, puis son visage s’illumine d’un sourire satisfait, elle écrit une seule ligne et rend sa copie au prof.
Comment Alexa a-t-elle fait ?

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Solution by mathman

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L’intégrande est impaire ( $f(x)=-f(-x)$ ), donc l’intégrale est nulle car les bornes sont opposées.

Solution by SequoiaEN

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The function $f\colon x\longmapsto x^8\sin(x)$ is odd since $x\longmapsto\sin(x)$ is odd and $x\longmapsto x^8$ is even.
Hence:
$I:=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x\overset{u=-x}{= }\int_{\pi}^{-\pi}f(-u)\,(-\mathrm{d}u)=\int_{-\pi}^{\pi}(-f(u))\,\mathrm{d}u=-I$ So $I=0$ .

Solution by beuhc

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la fonction sous l’integrale etant impaire, l’integrale sera nulle car l’intervalle d’intégration est centré en 0

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