Probabilité de commuter dans un groupe fini

Soit $Z(G):=\{x\in G/ \forall g\in G, xg=gx\}$ le centre de $G$, et posons $z = |Z(G)|$ ainsi que $Z_g(G):=\{x\in G/ xg=gx\}$ le centralisateur de $g\in G$..

Pour $g \in G$, on distingue deux cas :

1. Si $g \in Z(G)$, alors $Z_G(g) = G$, donc $|Z_G(g)| = n$.
2. Si $g \notin Z(G)$, alors $Z_G(g) \subsetneq G$. En appliquant le théorème de Lagrange, $|Z_G(g)| \leq \frac{n}{2}$.

On a donc :
$$|K| = \sum_{g \in Z(G)} n + \sum_{g \notin Z(G)} |Z_G(g)| \leqslant n \cdot z + (n-z) \cdot \frac{n}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{nz}{2}.$$

D’où :
$$\mathbb{P}(G) = \frac{|K|}{n^2} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{z}{2n}.$$

Majoration du centre. Si $G/Z(G)$ est cyclique, alors $G$ est abélien. En effet, si $G/Z(G) = \langle \bar{a} \rangle$ pour un $a \in G$, alors tout élément $g \in G$ s’écrit $g = a^k z$ avec $z \in Z(G)$. Pour $g = a^k z$ et $g' = a^{k'} z'$ avec $z, z' \in Z(G)$, on a :
$$gg' = a^k z a^{k'} z' = a^{k+k'} zz' = a^{k'} a^k z'z = g'g.$$

Comme $G$ est non abélien, $G/Z(G)$ n’est pas cyclique. Les seuls groupes d’ordre $\leq 3$ sont cycliques (à savoir $\{1\}$, $\Z/2\Z$ et $\Z/3\Z$). Le premier groupe non cyclique est $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ d’ordre $4$. Donc :
$$|G/Z(G)| \geqslant 4 \implies \frac{n}{z} \geqslant 4 \implies \frac{z}{n} \leqslant \frac{1}{4}.$$

Conclusion :
$$\mathbb{P}(G) \leqslant \frac{1}{2} + \frac{z}{2n} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8}.$$