Propriétés de la transposée

Question 1

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Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(\lambda A + \mu B)^{T}]_{i,j} = [\lambda A + \mu B]_{j,i} = \lambda [A]_{j,i} + \mu [B]_{j,i} = \lambda [A^{T}]_{i,j} + \mu [B^{T}]_{i,j} = [\lambda A^{T} + \mu B^{T}]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(\lambda A + \mu B)^{T} = \lambda A^{T}+ \mu B^{T}$
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Question 2

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En une phrase : On inverse les lignes et colonnes de $A$, puis on réinverse les lignes et les colonnes de la transposée, on retombe sur nos pattes.
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Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(A^{T})^{T}]_{i,j} = [A^{T}]_{j,i} = [A]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(A^{T})^{T} = A$

Question 3

Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(AB)^{T}]_{i,j} = [AB]_{j,i} = \sum\limits_{k = 1}^n [A]_{j,k} [B]_{k,i} = \sum\limits_{k = 1}^n [A^{T}]_{k,j} [B ^{T}]_{i,k} = \sum\limits_{k = 1}^n [B ^{T}]_{i,k} [A^{T}]_{k,j} = [B^T A^T]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(AB)^{T} = B^{T} A^{T}$

Question 4

Comme $A$ est inversible, en notant $A^{-1}$ son inverse : $A A^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$

En passant à la transposée, en se servant de la propriété précédente sur les produits et en utilisant le fait que $I_{n}^{T} = I_{n}$ car la matrice identité est diagonale.
: $(A^{-1})^{T} A^{T} = A^{T} (A^{-1})^T = (I_{n})^T = I_{n}$

$A^{T}$ est également inversible d’inverse $(A^{-1})^{T}$. On écrit alors $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^T$

Question 5

En une phrase : on ne change pas la diagonale d’une matrice en la transposant, donc le calcul de la trace reste le même.
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Soit $i \in [\![1,n]\!]$
$[A^{T}]_{i,i} = [A]_{i,i}$
Les coefficients $A$ et $A^{T}$ ont les mêmes coefficients diagonaux.
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D’où $\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^{T})$