Sine of a divisor of π

Rappel de la définition. Un réel $\alpha$ est dit exprimable par radicaux réels s’il existe une tour de corps
$$\mathbb{Q}=K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_r\subseteq\mathbb{R},\qquad K_{i+1}=K_i\bigl(\sqrt[n_i]{a_i}\bigr)\ \text{ avec } a_i\in K_i,\ a_i>0,$$telle que $\alpha\in K_r$. Toutes les extractions de racines se font donc à l’intérieur de $\mathbb{R}$ : c’est là toute la différence avec la résolubilité par radicaux complexes.

Réponse

$$\boxed{\ \sin\left(\tfrac{\pi}{5}\right)\ \text{oui}\ ;\qquad \sin\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\ \text{non}.\ }$$

1. Le cas de $\sin(\pi/5)$
   Il suffit d’une formule explicite. De $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt5-1}{4}$ et de $\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$ on tire
   $$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.$$Les deux radicaux portent sur des quantités positives : $5>0$, puis $10-2\sqrt5\approx 5{,}528>0$. La tour $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt5)\subset\mathbb{Q}\bigl(\sqrt{10-2\sqrt5}\bigr)$ est donc entièrement contenue dans $\mathbb{R}$, et la réponse est positive.

On notera que $\sin(\pi/5)$ est racine de $16X^{4}-20X^{2}+5$, irréductible sur $\mathbb{Q}$ : son degré vaut $4=2^{2}$. Ce n’est pas un hasard, comme la suite va le montrer.

2. Le cas de $\sin(\pi/7)$
   Le polynôme minimal. La formule de multiplication $\sin(7\theta)=7s-56s^{3}+112s^{5}-64s^{7}$, où $s=\sin\theta$, appliquée à $\theta=\pi/7$ donne $\sin(7\theta)=0$ avec $s\neq 0$, donc
   $$64s^{6}-112s^{4}+56s^{2}-7=0.$$Le critère d’Eisenstein en $p=7$ s’applique ($7$ divise $-112$, $56$, $-7$ ; $7\nmid 64$ ; $49\nmid 7$) : ce polynôme est irréductible, et $\sin(\pi/7)$ est de degré $6$ sur $\mathbb{Q}$.

Réduction à un cubique. Posons $u=s^{2}$. Alors $\sin^{2}(\pi/7)$ annule
$$P(u)=64u^{3}-112u^{2}+56u-7,$$irréductible pour la même raison. Ses trois racines sont
$$\sin^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right),\qquad \sin^{2}\left(\frac{2\pi}{7}\right),\qquad \sin^{2}\left(\frac{3\pi}{7}\right),$$qui sont toutes réelles. Autrement dit, $P$ est un cubique irréductible sur $\mathbb{Q}$ à trois racines réelles.

On invoque le théorème suivant, dû pour l’essentiel à Cardan et formalisé par Galois.

Théorème. Soit $K\subseteq\mathbb{R}$ et $P\in K[X]$ un polynôme irréductible de degré $3$ dont les trois racines sont réelles. Alors aucune de ces racines n’appartient à une extension radicale réelle de $K$.

Idée de la preuve. Soit $L$ le corps de décomposition de $P$, de groupe de Galois $C_3$ ou $\mathfrak{S}_3$ ; il contient une sous-extension cyclique de degré $3$. Si une racine appartenait à une tour radicale réelle, on pourrait raffiner celle-ci en étapes de degré premier, et l’on aboutirait à une extension réelle de degré $3$ contenant une sous-extension normale de même degré, ce que la présence des racines cubiques de l’unité, non réelles, interdit. La contradiction vient précisément de ce que $\mu_3\not\subseteq\mathbb{R}$, alors que $\mu_2=\{\pm 1\}\subseteq\mathbb{R}$.

Conclusion. Par ce théorème, $\sin^{2}(\pi/7)$ n’est pas exprimable par radicaux réels. Or si $\sin(\pi/7)$ l’était, son carré le serait aussi (une tour radicale réelle est un corps, stable par produit). Donc $\sin(\pi/7)$ n’est pas exprimable par radicaux réels. $\blacksquare$