$\sqrt{2}$ est-il un nombre rationnel ?

\sqrt{2}

est-il un nombre rationnel ?

by Sequoia·translated by Catalpa·

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On suppose que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel. On pose $a,b$ deux entiers premiers entre eux tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ .

Montrez que l’hypothèse est absurde.

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Solution by Sequoia · translated by Catalpa

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Mettre l’équation au carré donne $2=\frac{a^2}{b^2}$ et la valuation $2$ -adique fait arriver à :
$1=v_2(2)=v_2\left(\left(\frac{a}{b}\right)^2\right)=2\,v_2\left(\frac{a}{b}\right)$ Mais $v_2\left(\frac{a}{b}\right)$ est un entier et $1$ n’est pas un nombre pair donc ceci est absurde.

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