Sur la localisation des valeurs propres : Gerschgorin et Hadamard

Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(U)$. Par définition du spectre, il existe un vecteur propre
$$Z= \begin{pmatrix} z_1\\ \vdots\\ z_n \end{pmatrix} \in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$$ tel que
$$UZ=\lambda Z.$$

Comme $Z\neq0$, l’ensemble
$$\left\{|z_x|\;\middle|\;x\in\llbracket 1,n\rrbracket\right\}$$ est une partie finie non vide de $\mathbb{R}$. Il admet donc un maximum. Choisissons
$$i\in\llbracket 1,n\rrbracket$$ tel que
$$|z_i| = \max_{x\in\llbracket 1,n\rrbracket}|z_x|.$$ Comme $Z\neq0$, ce maximum est strictement positif, et par conséquent
$$z_i\neq0.$$

L’égalité $UZ=\lambda Z$ donne, en considérant sa $i$-ème composante,
$$\sum_{j=1}^n u_{ij}z_j=\lambda z_i.$$ En isolant le terme correspondant à $j=i$, on obtient
$$(\lambda-u_{ii})z_i = \sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n\\j\neq i}}u_{ij}z_j.$$ Comme $z_i\neq0$, on peut diviser par $z_i$, d’où
$$\lambda-u_{ii} = \sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n\\j\neq i}} u_{ij}\frac{z_j}{z_i}.$$ En prenant les modules et en utilisant l’inégalité triangulaire, il vient
$$|\lambda-u_{ii}| \leq \sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n\\j\neq i}} |u_{ij}| \frac{|z_j|}{|z_i|}.$$

Or, par définition de $i$,
$$\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\qquad |z_j|\leqslant|z_i|,$$ et donc
$$\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\qquad \frac{|z_j|}{|z_i|}\leqslant1.$$ Il s’ensuit que
$$|\lambda-u_{ii}| \leqslant \sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n\\j\neq i}}|u_{ij}| = \Lambda_i.$$ Par définition de $D_i$, on a donc
$$\lambda\in D_i.$$

Ainsi, toute valeur propre de $U$ appartient à l’un des disques $D_i$. Par conséquent,
$$\operatorname{Sp}(U) \subset \bigcup_{i=1}^nD_i \; .$$

Supposons que
$$\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\qquad |u_{ii}|> \sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n\\j\neq i}}|u_{ij}|.$$ Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on a alors
$$|u_{ii}|>\Lambda_i.$$

Par conséquent,
$$0\notin D_i.$$ En effet, si $0\in D_i$, alors, par définition de $D_i$,
$$|u_{ii}|\leqslant \Lambda_i,$$ ce qui contredirait l’hypothèse.

Ainsi,
$$0\notin\bigcup_{i=1}^nD_i.$$ Or, d’après la première question,
$$\operatorname{Sp}(U) \subset \bigcup_{i=1}^nD_i.$$ On en déduit
$$0\notin\operatorname{Sp}(U).$$

Par définition du spectre,
$$0\notin\operatorname{Sp}(U) \quad\Longleftrightarrow\quad \ker(U)=\{0\}.$$ L’application linéaire associée à $U$ est donc injective. Comme il s’agit d’un endomorphisme de l’espace vectoriel de dimension finie $\mathbb C^n$, elle est alors bijective. Par conséquent, $U$ est inversible.

Ainsi,
$$U\in GL_n(\mathbb C)\; .$$