Sur les nombres parfaits pairs

Pour $n\geqslant 1$, on note $\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d$ la somme des diviseurs de $n$. Un entier $n$ est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts, c’est-à-dire si $\sigma(n)=2n$.
Le point de départ est la multiplicativité de $\sigma$ : si $a\wedge b=1$, alors $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$, les diviseurs de $ab$ s’écrivant de façon unique $d_1d_2$ avec $d_1\mid a$ et $d_2\mid b$.

Suivons la démonstration d’Euler. Soit $n$ parfait pair. Écrivons
$$n=2^{k-1}q,\qquad k\geqslant 2,\quad q \text{ impair},$$où $2^{k-1}$ est la plus grande puissance de $2$ divisant $n$ — la parité de $n$ garantit $k\geqslant 2$.

Comme $2^{k-1}\wedge q=1$, la multiplicativité et la somme géométrique $\sigma(2^{k-1})=1+2+\cdots+2^{k-1}=2^{k}-1$ donnent
$$2^{k}q=2n=\sigma(n)=\bigl(2^{k}-1\bigr)\,\sigma(q). \qquad \qquad \tag{$\ast$}$$L’entier $2^{k}-1$ est impair et divise $2^{k}q$, donc divise $q$ : posons $q=\bigl(2^{k}-1\bigr)\,s,\qquad s\geqslant 1$.
En reportant dans $(\ast)$ et en simplifiant par $2^{k}-1\neq 0$ : $\sigma(q)=2^{k}s=q+s$.
Or $q$ et $s$ sont deux diviseurs de $q$, distincts puisque $2^{k}-1\geqslant 3$. La somme de tous les diviseurs de $q$ valant exactement $q+s$, l’entier $q$ n’a que ces deux diviseurs. Ceci force
$$s=1\qquad\text{et}\qquad q \text{ n'a que les diviseurs } q \text{ et } 1,$$c’est-à-dire $q=2^{k}-1$ premier. Finalement
$$n=2^{k-1}\bigl(2^{k}-1\bigr),\qquad 2^{k}-1 \text{ premier}. \qquad\blacksquare$$