Transconjuguée d’un produit, d’une puissance, d’une inverse

Question 1

Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
$\newline$
$[(AB)^{*}]_{i,j} = [\overline{AB}]_{j,i} = [\overline{A} \cdot \overline{B}]_{j,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [\overline A]_{j,k} [\overline B]_{k,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [\overline A^{T}]_{k,j} [\overline B ^{T}]_{i,k} = \sum\limits_{k = 1}^p [B ^{*}]_{i,k} [A^{*}]_{k,j} = [B^* A^*]_{i,j}$
$\newline$
Par égalité des coefficients, on déduit que : $(AB)^{*} = B^{*} A^{*}$

Question 2

On applique le résultat sur les produits
$(A^{p})^{*} = (A \cdots A)^{*} = A^{*} \cdots A^{*} = (A^{*})^{p}$

On peut démontrer plus rigoureusement ce résultat par récurrence.

Question 3

Comme $A$ est inversible, en notant $A^{-1}$ son inverse : $A A^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$

En passant à la transconjuguée, en se servant de la propriété sur les produits et en utilisant le fait que $I_{n}^{*} = I_{n}$ car la matrice identité est diagonale et à coefficients réels.
: $(A^{-1})^{*} A^{*} = A^{*} (A^{-1})^* = (I_{n})^* = I_{n}$

$A^{*}$ est également inversible d’inverse $(A^{-1})^{*}$. On écrit alors $(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^*$