Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExerciseUnreviewed

Transconjuguée d’un produit, d’une puissance, d’une inverse

by darktoaster·
30
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

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  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
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Pour une matrice A∈Mm,n(C)A \in \mathcal{M}_{m,n}(\C), on note A∗A^{*} la matrice adjointe de AA définie par A∗=AˉTA^{*} = \bar{A}^{T} (on conjugue tous les coefficients de AA puis on transpose). On appelle parfois l’opération ∗* la transconjuguée.

1) Transconjugueˊe d’un produit :\textbf{1) Transconjuguée d'un produit :} Soient A∈Mm,p(R)A \in \mathcal{M}_{m,p}(\R) et B∈Mp,n(R)B \in \mathcal{M}_{p,n}(\R) . Montrer que (AB)∗=B∗A∗(AB)^{*} = B^{*}A^{*}

2) Transconjugueˊe d’une puissance :\textbf{2) Transconjuguée d'une puissance :} Soient A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\R) et p∈Np \in \N. Montrer que (Ap)∗=(A∗)p(A^{p})^{*} = (A^{*})^{p}

3) Transconjugueˊe d’une inverse :\textbf{3) Transconjuguée d'une inverse :} Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\R) inversible. Montrer que A∗A^{*} est inversible et que (A−1)∗=(A∗)−1(A^{-1})^{*} = (A^{*})^{-1}

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Solution by darktoaster

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Question 1

Soient i∈[ ⁣[1,m] ⁣]i \in [\![1,m]\!] et j∈[ ⁣[1,n] ⁣]j\in [\![1,n]\!]
\newline
[(AB)∗]i,j=[AB‾]j,i=[A‾⋅B‾]j,i=∑k=1p[A‾]j,k[B‾]k,i=∑k=1p[A‾T]k,j[B‾T]i,k=∑k=1p[B∗]i,k[A∗]k,j=[B∗A∗]i,j[(AB)^{*}]_{i,j} = [\overline{AB}]_{j,i} = [\overline{A} \cdot \overline{B}]_{j,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [\overline A]_{j,k} [\overline B]_{k,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [\overline A^{T}]_{k,j} [\overline B ^{T}]_{i,k} = \sum\limits_{k = 1}^p [B ^{*}]_{i,k} [A^{*}]_{k,j} = [B^* A^*]_{i,j}
\newline
Par égalité des coefficients, on déduit que : (AB)∗=B∗A∗(AB)^{*} = B^{*} A^{*}

Question 2

On applique le résultat sur les produits
(Ap)∗=(A⋯A)∗=A∗⋯A∗=(A∗)p(A^{p})^{*} = (A \cdots A)^{*} = A^{*} \cdots A^{*} = (A^{*})^{p}

On peut démontrer plus rigoureusement ce résultat par récurrence.

Question 3

Comme AA est inversible, en notant A−1A^{-1} son inverse : AA−1=A−1A=InA A^{-1} = A^{-1}A= I_{n}

En passant à la transconjuguée, en se servant de la propriété sur les produits et en utilisant le fait que In∗=InI_{n}^{*} = I_{n} car la matrice identité est diagonale et à coefficients réels.
: (A−1)∗A∗=A∗(A−1)∗=(In)∗=In(A^{-1})^{*} A^{*} = A^{*} (A^{-1})^* = (I_{n})^* = I_{n}

A∗A^{*} est également inversible d’inverse (A−1)∗(A^{-1})^{*}. On écrit alors (A∗)−1=(A−1)∗(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^*

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